Nato a Orvieto il 3 luglio 1922, in una famiglia di artigiani, Giuseppe Montanucci partecipa al secondo conflitto mondiale come aviere di leva, combattendo in territorio albanese. Dopo l'8 settembre 1943 si unisce ai partigiani delle Brigate Garibaldi attivi in territorio jugoslavo.
Dal 1947 frequenta - prima a Roma e poi a Milano - i corsi professionali della sezione Arti grafiche e pubblicitarie del Convitto Scuola della Rinascita, inizialmente riservato ad ex partigiani. Tra i suoi docenti vi sono Albe Steiner, i designer Max Huber, Luigi Veronesi e Remo Muratore, l'ex direttore del Bauhaus Hannes Meyer, lo storico dell'arte Mario De Micheli, Gabriele Mucchi, Alfaro Siqueiros. Al tempo stesso, partecipa alla progettazione e realizzazione dei materiali di propaganda del Pci milanese e di altre organizzazioni democratiche locali.
Incaricato dalla Direzione del Pci di potenziare il Centro grafico della Sezione stampa e propaganda del partito, nel 1953 si trasferisce a Roma. Disegna volantini, manifesti e opuscoli, quindi collabora con Steiner all'impostazione grafica delle riviste «Vie nuove», «Rinascita», «Noi donne», «Il Pioniere», «Il Contemporaneo».
Nel 1954 riceve l'incarico di art director presso gli Editori riuniti, casa editrice cui sarà legato fino al 1968: ne realizza i loghi e concepisce la veste grafica di gran parte del suo catalogo, avvalendosi della collaborazione di disegnatori e artisti di rilievo, quali Renzo Vespignani, Corrado Cagli, Renato Guttuso, Ugo Attardi, Ennio Calabria, Leo Guida e Piero Guccione.
All'inizio degli anni Sessanta lavora insieme a Steiner alla nuova immagine grafica di «Rinascita», che da mensile diviene settimanale. Fino alla morte di Togliatti, avvenuta nel 1964, cura personalmente l'impaginazione della rivista, quindi firma il nuovo layout del settimanale della Cgil «Rassegna sindacale».
Già ideatore di cataloghi, libri, cartelle di opere grafiche per alcune gallerie d'arte romane (tra queste, si ricordano le gallerie La Nuova Pesa, La Margherita e Il Gabbiano), nel 1967 inaugura a Orvieto, insieme al fratello Giulio, la galleria d'arte contemporanea Maitani. Nel 1969 fonda a Roma, in via Ripetta, la galleria d'arte contemporanea Il Grifo, diretta fino al 1982 insieme alla moglie Giusy Venturi.
Profondo conoscitore dei procedimenti di stampa, dell'arte incisoria, del disegno di lettere e caratteri tipografici, fonda le Edizioni Il Grifo, con cui realizza e pubblica cataloghi, materiali grafici e libri d'arte di pregio, e collabora con case editrici specializzate, tra cui Grafica editoriale (suo è il logo della società), Il Cigno, Edizioni del calendario. Nel 1971 vince al Premio Viareggio il riconoscimento "Copertina" per la sua attività di grafico editoriale.
Negli anni Ottanta e Novanta continua l'attività di organizzatore culturale e di grafico, occupandosi, tra le altre cose, degli allestimenti e della comunicazione visiva di grandi esposizioni a Roma e in Italia (tra le altre, a Palazzo Venezia e Castel Sant'Angelo, per artisti quali Renato Guttuso, Emilio Greco e Corrado Cagli).
Muore a Roma il 7 dicembre 2000.